КСП «Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка при условии D=0» по алгебре и началам анализа, 11 класс

• Выводить и записывать общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами для случая нулевого дискриминанта характеристического уравнения (D=0).
• Применять алгоритм решения для нахождения частных решений уравнений вида y''+4y'+4y=0, удовлетворяющих заданным начальным условиям.
• Анализировать контекстные задачи (физические, экономические), сводящиеся к решению уравнения с D=0, и интерпретировать полученное решение.

"Добрый день, ребята! Сегодня я хочу рассказать вам небольшую историю из мира техники. Инженер Азамат моделировал движение механического маятника с небольшим сопротивлением. Он составил для его отклонения от положения равновесия x(t) дифференциальное уравнение: x'' + 6x' + 9x = 0. Он знал, что общее решение ищется в виде x(t)=e^(rt). Составил характеристическое уравнение: r²+6r+9=0. Дискриминант D=36-36=0. Корень r = -3. И тогда Азамат записал общее решение: x(t) = C₁ * e^(-3t). С этим решением он пошел к своему наставнику. Как вы думаете, наставник его похвалил или нашел ошибку? Внимательно посмотрите на решение. Обсудите в парах 1 минуту."

После обсуждения: "Итак, кто готов высказать гипотезу? В чем неточность?" Подводит к тому, что при D=0 решение должно содержать два независимых слагаемых, так как уравнение второго порядка.