КСП «Решение систем логарифмических неравенств» по алгебре и началам анализа, 11 класс

• Применять свойства логарифмических функций и методы решения неравенств для нахождения общего решения системы из двух логарифмических неравенств.
• Анализировать и выбирать оптимальный метод решения (метод интервалов, равносильные преобразования, графический метод) для систем повышенной сложности, аналогичных заданиям ЕНТ и олимпиадным задачам.
• Оценивать корректность полученного решения, проверяя область допустимых значений и логическую согласованность ответа в контексте практико-ориентированной задачи.

"Здравствуйте, садитесь. Сегодня у нас урок-повторение, который станет ключевым для подготовки к ЕНТ и олимпиадам. Я хочу рассказать вам историю о своем бывшем ученике, ныне успешном инженере. При расчете надежности механизма он столкнулся с системой:
log_0.5(x² - 6x + 8) > -1 и
log₂(x - 3) ≤ 1.
Он быстро нашел ОДЗ: x>3, решил каждое неравенство, получил x ∈ (3, 4) из первого и x ∈ (3, 5] из второго. Сделал вывод: общее решение - пересечение, то есть x ∈ (3, 4). Механизм прошел проверку, но через месяц дал сбой в критический момент. В чем же была его ошибка? Ваша задача — найти неточность в его рассуждениях за 3 минуты. Работаем самостоятельно."

После времени: "Итак, кто готов озвучить найденную проблему?" Выслушивает ответы, подводит к ключевому упущению: неполный учет ОДЗ для первого неравенства (x²-6x+8>0 дает x∈(-∞;2)∪(4;+∞)), что в пересечении с x>3 дает только интервал (4;+∞). Итоговое решение: x ∈ (4, 5]. Ошибка в ОДЗ привела к неверному расчету."

ИИ-инструменты: Использование ИИ (ChatGPT, Claude) для генерации аналогичных историй с "закладной" ошибкой для дифференциации: можно быстро создать несколько вариантов разной сложности.