КСП «Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными способом введения новой переменной» по алгебре, 9 класс

1. Ученик сможет объяснить, в каком случае систему нелинейных уравнений рационально решать способом введения новой переменной, и приводить примеры таких систем.
2. Ученик сможет выполнить замену переменной в системе уравнений, свести её к более простой системе (линейной или квадратной) и решить её.
3. Ученик сможет применить метод введения новой переменной для решения прикладной задачи (математическая грамотность) и интерпретировать результат.

Учитель: "Ребята, сегодня я хочу рассказать вам историю. Два друга, Алихан и Дамир, решали систему уравнений:
x + y = 5; xy = 6 .
Алихан сказал: «Я введу новую переменную: пусть u = x + y . Тогда первое уравнение превратится в u = 5 , а второе... но второе уравнение останется с x и y. Я не могу решить!». Дамир ответил: «Ты выбрал неудачную замену. Нужно было ввести u = x и v = y , тогда всё просто».
Вопрос классу: «Кто из друзей прав? Найдите неточность в рассуждениях. Какую замену на самом деле следовало бы сделать, чтобы система стала проще?» (Подсказка: подумайте про симметричные выражения).

Учитель выслушивает версии, подводит к идее замены суммы и произведения.

• Ученики слушают историю, анализируют.
• Обсуждают в парах (1 минута).
• Выдвигают гипотезы: кто прав, какая замена рациональна.
• Ожидаемый ответ: Алихан прав в том, что нужна замена, но неудачная. Дамир тоже неправ, так как замена u=x, v=y ничего не упрощает. Рационально: u = x+y, v = xy или u = x+y, v = x-y.

• Замечает, что оба друга допустили неточность.
• Предлагает идею замены симметричных выражений.