КСП «Нахождение экстремумов функции с помощью второй производной» по алгебре, 7 класс

• Вычислять вторую производную заданной функции.
• Применять алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второй производной для анализа заданных функций.
• Анализировать реальную ситуацию (задачу на оптимизацию), строить её математическую модель и находить оптимальное значение с помощью второй производной.

"Добрый день, ребята! Представьте себе: вы — инженер на новом производстве. Ваша задача — спроектировать жестяную банку для напитка цилиндрической формы объёмом 330 мл. Нужно использовать как можно меньше материала (жести) для её изготовления, чтобы снизить затраты. Как вы думаете, от чего зависит количество материала? (Ответ: от площади полной поверхности). Значит, нужно найти такие размеры банки (радиус и высоту), при которых площадь поверхности будет минимальной при заданном объёме. Как математика может помочь найти этот оптимальный, самый выгодный вариант?"

Даю время на обдумывание в парах (1-2 мин).

"Мы уже умеем находить критические точки с помощью первой производной. Но как точно определить, будет ли в этой точке минимум (самый экономичный вариант) или максимум? Сегодня мы освоим мощный инструмент, который даст нам точный ответ — вторую производную. Это и есть тема нашего урока."

• Слушают кейс.
• Обсуждают в парах (2 пары, 1 тройка), выдвигают гипотезы: "Нужно найти минимум функции", "Можно построить график", "Нужна производная".
• Формулируют учебную проблему: как точно классифицировать критические точки?

• Участвует в обсуждении, высказывает предположение.
• Связывает практическую задачу с математическим понятием (поиск минимума функции).

• Слайд/изображение жестяной банки.
• ИИ-сервис для визуализации (например, Canva или PowerPoint Designer) для создания наглядного слайда с банкой и формулами объёма/площади.