КСП «Производная показательной функции» по алгебре и началам анализа, 11 класс

• Вывести формулу производной показательной функции y = a^x и, в частности, y = e^x, используя определение производной.
• Применять формулу производной показательной функции для решения типовых задач на нахождение производной, уравнения касательной и исследование функции.
• Проанализировать реальную ситуацию (рост бактерий, радиоактивный распад), используя понятие производной показательной функции, и предложить инновационное решение или вопрос для исследования.

"Добрый день, ребята! Представьте себе: молодой ученый-биолог Айгерім изучает рост колонии бактерий в своей лаборатории. Она знает, что количество бактерий N(t) через t часов описывается формулой N(t) = 100 * 2^t. Для прогноза скорости эпидемии ей критически важно знать, как быстро растет колония в конкретный момент времени, скажем, через 3 часа после начала эксперимента. Она вспоминает, что скорость — это производная. 'Отлично!', — думает она, — 'Производная степенной функции xⁿ равна n*x^n-1. Значит, производная от 2^t будет t*2^t-1. Через 3 часа скорость будет 3*2²=12 бактерий в час'. Всё ли верно в её рассуждениях? Ваша задача — найти неточность или ошибку в её решении."

Даю 2 минуты на обсуждение в парах.

После обсуждения: "Итак, какие мысли? Где подвох?" (Выслушиваю ответы). "Верно, ключевая ошибка в том, что 2^t — это не степенная, а показательная функция. Правило дифференцирования степенной функции к ней напрямую не применимо. Это и есть та 'загвоздка', которая приводит нас к главному вопросу сегодняшнего урока: Как же найти производную показательной функции? Запишите тему: 'Производная показательной функции'."

• Слушают историю.
• Обсуждают в парах логику решения ученого.
• Выявляют ошибку: применение правила для степенной функции к показательной.
• Формулируют проблемный вопрос урока.
• Записывают тему в тетрадь.

• Ученик активно участвует в обсуждении в паре.
• Ученик верно идентифицирует тип функции (показательная).
• Ученик указывает на неверное применение правила дифференцирования.

• Доска/экран с записью сюжета и "решения".
• ИИ-инструмент: ChatGPT для генерации аналогичных контекстных задач с преднамеренной ошибкой для дифференциации (можно быстро создать несколько вариантов истории для разных групп).