КСП «Производная и интеграл степенной функции с действительным показателем. СОР #3» по алгебре и началам анализа, 11 класс

• Уметь вычислять неопределённый интеграл ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C для любого действительного n ≠ −1 и применять правило к 4–5 примерам за урок.
• Уметь проверять корректность найденного интеграла дифференцированием (проверка результата) в минимум 3 примерах.
• Развивать навыки командной работы и взаимопомощи при решении интеграционных задач (не менее одной совместной групповой задачи с распределением ролей).

Учитель: «Я хочу рассказать короткую историю. На прошлых выходных Петя решил потренироваться и посчитал несколько интегралов. Вот одно из его решений: ∫ x^3 dx = x^4/4 + C — верно. А вот ещё: ∫ x^−1 dx = x^0 + C. Петя уверенно заявил, что это правило применимо ко всем n. Найдите, пожалуйста, в этой истории неточность и объясните, почему Петя ошибается.»

Учитель (если никто не отвечает): «Подумайте 1 минуту, затем обсудите в парах и сформулируйте объяснение.»

Дополнение (если требуется): «Кто хочет — скажите ответ вслух. Подумайте, как можно проверить результат интегрирования.»

Ученики слушают, некоторые записывают. Через 30–60 секунд обсуждение в парах.

Примеры возможных ответов учеников:

• «Ошибка в том, что при n = −1 формула не работает; интеграл ∫ x^−1 dx = ln|x| + C, а не x^0 + C.»
• «Нужно проверять интеграл, дифференцируя полученную функцию.»

• Дескриптор 1: Ученик указывает конкретную ошибку в решении Пети (назвал n = −1) — да/нет.
• Дескриптор 2: Ученик объясняет причину (почему формула не применима) — сформулированно и верно/неверно.
• Дескриптор 3: Ученик предлагает способ проверки (дифференцирование) — да/нет.

Ресурсы: слайд с историей (презентация), доска/маркер, рабочие листы для парного обсуждения.

ИИ-инструменты: краткие подсказки через ChatGPT (учитель использует в подготовке), визуализация графиков в Desmos для показа функции y = ln|x| и y = x^0 для сравнения.

Как помогают ИИ: ChatGPT помогает подготовить варианты объяснений и наводящих вопросов; Desmos иллюстрирует поведение функций.