КСП «Применение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач. Урок 3» по алгебре и началам анализа, 11 класс

• Учащиеся смогут применять определённый интеграл для вычисления площадей криволинейных трапеций, объёмов тел вращения и физических величин (работы, пути).
• Учащиеся смогут анализировать условие задачи, определять формулу интегрирования и границы интегрирования.
• Учащиеся смогут оценивать правильность полученного результата, используя физический и геометрический смысл.

Учитель: «Ребята, сегодня мы продолжим работу с определённым интегралом. Я хочу начать с интересной истории. Один инженер получил задание вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 2x. Он вспомнил, что площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью интеграла, и записал:

S = ∫₀² (x² - 2x) dx = (x³/3 - x²) |₀² = 8/3 - 4 = -4/3.

Получив отрицательное значение, он очень удивился. Как вы думаете, что он сделал не так? Найдите неточность в его рассуждениях. Обсудите в парах 1 минуту, затем ответьте.»

Учитель выслушивает ответы, подводит к правильному выводу: нужно было брать разность верхней и нижней функций: (2x - x²), тогда площадь будет положительной.

Ученики слушают, обсуждают в парах, выдвигают гипотезы.

Возможные ответы:

• «Он перепутал верхнюю и нижнюю функции»
• «Надо было взять 2x - x², а не наоборот»
• «Площадь не может быть отрицательной»

Формулируют правило: при вычислении площади между кривыми нужно брать интеграл от (f_верх - f_низ).

Дескрипторы:

• обнаруживает ошибку в выборе порядка вычитания функций;
• предлагает правильное выражение для площади;
• аргументирует, почему площадь не может быть отрицательной.

Без баллов.