КСП «Производная логарифмической функции и интеграл от нее» по математике, 11 класс

• Вывести и запомнить формулу производной натурального логарифма и логарифма с произвольным основанием.
• Применять формулы производной логарифмической функции для решения типовых задач, включая задачи с контекстом (PISA).
• Находить неопределенный интеграл от функций вида f(x)=1/x, используя связь с производной логарифмической функции.

"Добрый день, ребята. Представьте себе: наш выпускник Алишер готовится к ЕНТ. Он решает задачу на скорость роста инвестиций. Доход описывается функцией L(t)=1000∙ln(2t+1). Ему нужно найти мгновенную скорость роста дохода через 2 года. Он уверенно пишет: L'(t) = 1000 ∙ 1/(2t+1). И находит ответ: 1000/5=200. Все логично? Или где-то закралась ошибка? Ваша задача — внимательно проанализировать его решение. Обсудите в парах (1 минута) и дайте свой вердикт."

После обсуждения: "Кто готов озвучить найденную неточность? Правильно, Алишер забыл о производной внутренней функции (2t+1)'. Это классическая ошибка. Сегодня мы не только научимся безошибочно находить производные логарифмов, но и увидим, как эта операция связана с обратной ей — интегрированием."

• Слушают историю.
• Анализируют предложенное решение в парах.
• Выявляют ошибку: отсутствие множителя 2 (производная от (2t+1)).
• Формулируют ответ: "Применена неполная формула, не учтена производная аргумента".

• Ученик активно участвует в обсуждении в паре.
• Ученик корректно идентифицирует наличие/отсутствие ошибки в предложенном решении.
• Ученик дает краткое обоснование своего вывода.

• Доска или экран с текстом задачи.
• Таймер.
• ИИ-сервис для генерации подобных контекстных задач с "ошибками" (например, ChatGPT).