КСП «Уравнение касательной к графику степенной функции» по алгебре и началам анализа, 11 класс

• Вывести общий вид уравнения касательной к графику функции y = x^r, где r ∈ R, в заданной точке, применяя формулу производной степенной функции.
• Применить алгоритм составления уравнения касательной для решения конкретных задач с функциями вида f(x) = xⁿ, f(x) = √x, f(x) = 1/x.
• Проанализировать взаимосвязь между геометрическим смыслом производной и алгебраической записью уравнения касательной, интерпретируя результаты.

"Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы продолжим работу с производной. Вспомним геометрический смысл производной. У меня к вам провокационный вопрос: Можно ли провести касательную к графику функции y = √x в точке (0;0)?"

"Проголосуйте, пожалуйста: поднимите зеленую карточку, если считаете, что ДА, красную – если НЕТ." (Учитель подсчитывает голоса).

"Интересно, мнения разделились. Давайте обсудим. Артем, ты проголосовал за "да". Почему?" (Выслушивает ответ). "Алина, ты за "нет". Объясни свою позицию." (Выслушивает ответ).

"Спасибо. Мы видим, что вопрос не такой простой. Чтобы дать на него точный ответ, нам нужно не только понимать, что такое касательная, но и уметь формально записывать ее уравнение для самых разных функций, в том числе для степенных. Именно этим мы и займемся сегодня. Тема урока: «Уравнение касательной к графику степенной функции»."

• Слушают вопрос учителя.
• Голосуют с помощью цветных карточек.
• Несколько учеников аргументируют свою позицию, опираясь на визуальное представление графика и интуитивное понимание касательной.
• Записывают тему урока в тетрадь.

• Цветные карточки (зеленые/красные).
• Презентация или доска с графиком y = √x.
• ИИ-инструмент: Интерактивный опрос в Mentimeter или Kahoot! для анонимного голосования и сбора всех аргументов в режиме реального времени. Помогает быстро вовлечь всех и визуализировать распределение мнений.