КСП «Иррациональные уравнения и их систем» по алгебре и началам анализа, 11 класс

• Научиться решать простейшие иррациональные уравнения и проверять ОДЗ (измеримо: правильно решить и проверить 4 из 5 уравнений на практике).
• Освоить приём перехода к квадратному уравнению через введение замены и/или возведение в квадрат (измеримо: применить метод при решении системы из 2 уравнений).
• Научиться решать простые системы иррациональных уравнений и аргументировать отбрасывание посторонних корней (измеримо: корректно решить систему из 2 уравнений с проверкой всех найденных корней).

Учитель:

«Добрый день! Небольшая новость: в городском проекте по благоустройству столкнулись с задачей распределения материалов — одна бригада привезла мешки цемента, количество мешков описывается уравнением sqrt(x+9)=x-3. Прошу вас спрогнозировать: какое количество мешков может быть доставлено? Как проверить, что найденное значение корректно?»

Инструкция: попросите одного ученика озвучить возможный ход решения, другого — указать, что означает домен под корнем. Дайте 2 минуты на устное обсуждение в парах.

Фразы-стимулы от учителя:

• «Кто напомнит правило: что означает ОДЗ для выражения sqrt(…)?»
• «Какое минимальное значение x должно быть, чтобы выражение под корнем имело смысл?»

Ожидаемая подводка к теме: «Сегодня разберём методы решения подобных иррациональных уравнений и систем».

Ученики работают в парах (12 пар):

• 1-й ученик пары отвечает на вопрос про ОДЗ;
• 2-й — предлагает шаги решения уравнения;
• волна ответа: 2–3 пары озвучивают свои мысли фронтально.

Пример возможных ответов:

• «ОДЗ: x+9 ≥ 0 → x ≥ −9»;
• «Решим: sqrt(x+9)=x-3 → вынесем ОДЗ: x-3 ≥ 0 → x ≥ 3, затем возведём в квадрат».

Дескрипторы:

• Отлично: ученик корректно указал ОДЗ и предложил верный первый шаг; формулировки ясны.
• Хорошо: ученик указал ОДЗ, но не учёл дополнительное неравенство для правой части.
• Удовлетворительно: ученик назвал ОДЗ, требует подсказки по возведению в квадрат.

Материалы и ИИ-инструменты:

• Доска, маркеры;
• Раздатка: условие кейса + напоминание правил ОДЗ (1 лист на пару);
• Проектор для вывода примера;
• ИИ-инструменты: ChatGPT (генерация вопросов-стимулов), Google Lens/Photomath (быстрая проверка выражений) — для внезапной проверки предложений учеников.