Индивидуальный рабочий лист
Предмет: Математика
Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Класс: 11
Фамилия, имя ученика: _________________________________
Дата: _______________________
Инструкция для ученика:
Дорогой ученик! Этот рабочий лист поможет тебе освоить тему урока. Внимательно читай задания. Выполняй их по порядку. Пиши разборчиво. Не забудь свериться с критериями оценивания, чтобы понять, на что обратить внимание. Удачи!
Этап 1. Разминка и актуализация знаний
Рассмотри графики функций и ответь на вопросы.
График A: Прямая, растущая вверх.
График B: Плавная волна, похожая на синус.
График C: Парабола.
- Какой из этих графиков, по-твоему, лучше всего описывает колебания маятника или качелей? Почему?
- Вспомни, как выглядит общее решение дифференциального уравнения первого порядка y' + ky = 0? Запиши его.
Критерии оценивания этапа (макс. 1 балл):
- 0.5 балла – дан верный ответ на вопрос 1 с кратким обоснованием.
- 0.5 балла – верно записано общее решение ДУ 1-го порядка (y = C*e^(-kx) или эквивалент).
Базовый уровень Этап 2. Изучаем алгоритм
Тема урока: Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ II п.п.к.).
Цель урока: Научиться решать ЛОДУ II п.п.к. по алгоритму и интерпретировать решение как модель колебаний.
Общий вид уравнения: y'' + p*y' + q*y = 0, где p и q – заданные числа (коэффициенты).
Алгоритм решения:
- Составить характеристическое уравнение: k2 + p*k + q = 0.
- Найти корни k1 и k2 характеристического уравнения.
- В зависимости от типа корней записать общее решение по таблице:
| Тип корней | Общее решение ЛОДУ |
|---|---|
| 1. Два различных действительных корня: k1 ≠ k2 | y = C1*ek1x + C2*ek2x |
| 2. Один действительный корень (кратности 2): k1 = k2 = k | y = (C1 + C2x)*ekx |
| 3. Два комплексно-сопряженных корня: k1,2 = α ± βi | y = eαx*(C1cos(βx) + C2sin(βx)) |
Задание: Используя алгоритм, заполни пропуски в решении уравнения: y'' - 3y' + 2y = 0.