📘 Индивидуальный рабочий лист
Алгебра и начала анализа · 11 класс
Применение производной. Функция. Тригонометрические уравнения и неравенства
ФИ ученика: Дата: 20____ г.
📌 Как работать с листом: Прочитай каждое задание внимательно. Вписывай ответы, решения и объяснения прямо в отведённых полях. Будь аккуратен, пиши разборчиво. Задания можно выполнять по порядку, но для экономии времени разрешается начинать с любого. Максимальная сумма — 10 баллов. Успехов!
1 Теоретический вопрос + геометрический смысл производной
Перед тобой график функции y = f(x) и касательная в точке A с абсциссой x₀ = 1,5.
а) Сформулируй, что такое геометрический смысл производной (определение).
б) Известно, что угловой коэффициент касательной, проведённой в точке A, равен 23. Чему равно значение производной в точке x₀ = 1,5? Запиши ответ.
f′(1,5) =
✏️ Помни: тангенс угла наклона касательной к оси Ox — это производная в точке касания.
2 Практическая задача (производные сложных и тригонометрических функций)
Уровень воды при приливе в порту меняется по закону h(t) = 2·sin(πt/6) + 3, где t — время в часах (t ≥ 0).
💧 Капитану корабля необходимо определить скорость изменения уровня воды в момент времени t = 2 часа, чтобы безопасно подойти к причалу.
- Найди производную функции h′(t). Покажи все шаги.
- Вычисли h′(2), то есть скорость изменения (в м/час) при t = 2.
h′(t) = 2·cos(πt/6)·(π/6) = …
h′(2) = 2·cos(π/3)·(π/6) = … (скорость)
✔ Подсказка: сначала продифференцируй с учётом сложной функции: (sin(u))′ = cos(u)·u′.
3 Исследование функции (монотонность, экстремумы, асимптоты)