Рабочий лист «Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами» по алгебре и началам анализа, 11 класс

Индивидуальный рабочий лист

Предмет: Алгебра и начала анализа

Тема: Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Класс/Возраст: 11

ФИ ученика: _________________________________ Дата: _________________

Инструкция для ученика:

Дорогой ученик! Этот рабочий лист поможет тебе закрепить тему решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Внимательно прочитай каждое задание. Задания разделены по уровням сложности: базовый, средний, повышенный. Для первого задания приведен образец решения. Пиши разборчиво, используй отведенное место для ответов. Удачи в работе!

Задание 1 (Образец решения) Базовый уровень

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: y'' - 5y' + 6y = 0.

а) Запишите соответствующее характеристическое уравнение.

б) Найдите его корни.

в) Запишите общее решение дифференциального уравнения.

Образец решения:

а) Характеристическое уравнение имеет вид: k² - 5k + 6 = 0. (Заменили y'' на k², y' на k, y на 1).

б) Решаем квадратное уравнение: D = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1. k_1,2 = (5 ± 1)/2. k₁ = 3, k₂ = 2.

в) Так как корни характеристического уравнения действительные и различные (k₁ ≠ k₂), общее решение записывается по формуле: y = C₁e^k₁x + C₂e^k₂x.

Ответ: y = C₁e^3x + C₂e^2x, где C₁, C₂ — произвольные постоянные.

Теперь выполни самостоятельно:

Дано уравнение: y'' + 4y' + 3y = 0.

а) Характеристическое уравнение: _________________________________

б) Корни характеристического уравнения: k₁ = ______, k₂ = ______

в) Общее решение: y = ___________________________________________