Рабочий лист «Предел функции в точке и на бесконечности» по алгебре и началам анализа, 10 класс

Индивидуальный рабочий лист

Предмет: Алгебра и начала анализа

Тема: Предел функции в точке и на бесконечности

Класс: 10 класс

Инструкция для ученика

Дорогой ученик! Этот рабочий лист поможет тебе закрепить знания о пределах функции. Внимательно прочитай каждое задание. Выполняй задания последовательно, записывай решения и ответы в отведённые места. Для вычисления пределов можешь использовать известные свойства и приёмы. Не забудь проверить свои ответы. Удачи!

Сформулируй определение предела функции f(x) в точке x = a на языке «ε-δ» (словами или математическими символами).

Сформулируй определение предела функции f(x) при x → +∞, равного числу b.

Вычисли пределы функций в указанных точках. Покажи ход решения.

а) lim_x→2 (3x - 5)
б) lim_x→-1 x² - 1x + 1
в) lim_x→0 sin(5x)x (Вспомни первый замечательный предел)

Вычисли пределы функций при x → ∞. Покажи ход решения.

а) lim_x→∞ 2x³ - 5x + 14x³ + x² - 3
б) lim_x→∞ √(4x² + 1)x + 2
в) lim_x→∞ (√(x² + x) - x)

На рисунке ниже (место для рисунка) изображён график функции y = f(x). Определи по графику, чему равны следующие пределы (если они существуют):

а) lim_x→1 f(x)
б) lim_x→3 f(x)
в) lim_x→+∞ f(x)
г) lim_x→-∞ f(x)

Примечание: Нарисуй от руки примерный график функции, которая имеет: разрыв в точке x=1 (предел существует), вертикальную асимптоту в точке x=3 (предел бесконечен), горизонтальную асимптоту y=2 при x→+∞ и y=-1 при x→-∞. Используй этот график для ответов.

[Место для рисунка графика]

Твои ответы, основанные на твоём графике:
а) _________ б) _________ в) _________ г) _________

Концентрация лекарства в крови пациента (в мг/л) через t часов после инъекции описывается функцией C(t) = 5tt² + 1.

а) Какой будет концентрация лекарства в долгосрочной перспективе, то есть при t → +∞? Вычисли предел lim_t→+∞ C(t).

б) Объясни, что означает полученный результат с практической точки зрения для врача и пациента.