Вариант 1
СУММАТИВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЗА РАЗДЕЛ
ПРЕДМЕТ: ГЕОМЕТРИЯ
КЛАСС: 9
ТЕМА РАЗДЕЛА: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Цели обучения: 10.2.6; 10.2.7; 10.2.8; 10.2.9; 10.2.10; 10.3.1; 10.3.2; 10.3.3; 10.3.4; 10.3.5
Общее количество баллов: 16
Время выполнения: 40 минут
Задания
1. Дайте определения. [2 балла]
а) Что называется углом между скрещивающимися прямыми?
б) Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. На рисунке изображён куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 4 см. Точка O – центр грани ABCD. [4 балла]
а) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости (ACC1).
б) Найдите расстояние от точки O до прямой A1C1.
3. В правильной треугольной пирамиде SABC (S – вершина) сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA = 5. Точка M – середина ребра BC. [6 баллов]
а) Докажите, что плоскость (SAM) перпендикулярна прямой BC.
б) Найдите угол между прямой SM и плоскостью основания (ABC).
в) Найдите двугранный угол при ребре BC.
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 8, AD = 6, AA1 = 245. [4 балла]
а) Докажите, что диагональ B1D перпендикулярна плоскости (A1C1D).
б) Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми B1D и A1C1.
| № | Ответы | Балл | Дополнительная информация |
|---|---|---|---|
| 1 |
а) Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. б) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. |
2 | По 1 баллу за каждый верный ответ. Принимаются эквивалентные формулировки. |
| 2 |
а) Доказательство: В кубе BD ⟂ AC (как диагонали квадрата) и BD ⟂ CC1 (т.к. CC1 ⟂ (ABCD)). Следовательно, BD ⟂ (ACC1). Так как B1D || BD (в плоскости BB1D1D), то B1D ⟂ (ACC1). б) Искомое расстояние – длина отрезка OH, где H – середина A1C1. A1C1 = 4√2. OH = AA1 = 4 см. Ответ: 4 см. |
4 | 2 балла за доказательство (1 за установление BD ⟂ (ACC1), 1 за обоснование параллельности). 2 балла за нахождение расстояния (1 за план, 1 за верный числовой ответ). |
| 3 |
а) Доказательство: В правильном ΔABC: AM ⟂ BC. Так как пирамида правильная, то SM ⟂ BC (апофема). Значит, BC ⟂ (SAM) по признаку. б) Угол между SM и (ABC) – это угол SMA. AM = (6√3)/2 = 3√3. Из ΔSAM: cos(SMA) = AM/SM. SM = √(SA² - (AB/2)²) = √(25 - 9) = 4. cos(SMA) = (3√3)/4. Ответ: arccos(3√34). в) Двугранный угол при BC – это линейный угол SMA в плоскости (SAM). Ответ: arccos(3√34). |
6 | 2 балла за доказательство. 2 балла за нахождение угла (1 за план/формулу, 1 за вычисления). 2 балла за нахождение двугранного угла (1 за идентификацию угла, 1 за ответ). |
| 4 |
а) Доказательство: A1C1 ⟂ (DD1C1C), значит A1C1 ⟂ B1D? Нет. Используем векторы или теорему о трех перпендикулярах. DC1 – проекция B1D на (DCC1). Так как DC1 ⟂ A1D (в квадрате A1D1DA), то по теореме о трех перпендикулярах B1D ⟂ A1D. Аналогично, B1D ⟂ C1D. Значит, B1D ⟂ (A1C1D). б) Расстояние между B1D и A1C1 равно расстоянию от любой точки на A1C1 до плоскости (B1D? Нет). Так как B1D ⟂ (A1C1D), и A1C1 лежит в этой плоскости, то искомое расстояние – длина перпендикуляра из точки на B1D к A1C1. Это высота прямоугольного ΔA1C1D. A1C1 = 10 (из ΔA1D1C1: 8,6,10), C1D = √(6² + (24/5)²) = √(36 + 576/25) = √(1476/25)= (6√41)/5. Площадь ΔA1C1D: (1/2)*A1D*D1C1 = (1/2)*6*8 = 24. С другой стороны: (1/2)*A1C1*h = 24 => (1/2)*10*h = 24 => h = 4.8. Ответ: 4.8. |
4 | 2 балла за доказательство (корректное применение признака или ТТП). 2 балла за нахождение расстояния (1 за верную идею/план, 1 за верный числовой ответ). |
| Всего баллов | 16 | ||