Индивидуальный рабочий лист
Предмет: Геометрия
Тема: Нахождение угла между двумя прямыми в пространстве
Класс: 11
Фамилия, Имя ученика: _________________________________
Дата: _______________________
Инструкция для ученика:
Дорогой ученик! Этот лист содержит задания по теме «Угол между прямыми в пространстве». Внимательно прочитай каждое задание. Для вычисления угла между прямыми используй формулу для косинуса угла между направляющими векторами:
cos φ = |a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃|√(a₁² + a₂² + a₃²) · √(b₁² + b₂² + b₃²)
Все вычисления и построения выполняй непосредственно на листе в отведённых местах. Удачи в работе!
Задание 1. Теоретическая основа.а) Запиши формулу для нахождения косинуса угла между двумя прямыми в пространстве, заданными направляющими векторами s⃗₁ = (l₁, m₁, n₁) и s⃗₂ = (l₂, m₂, n₂).
б) Объясни, почему в формуле для косинуса угла между прямыми используется модуль скалярного произведения направляющих векторов.
Задание 2. Прямые, заданные каноническими уравнениями.Найди угол между прямыми, заданными уравнениями:
L₁: x - 21 = y + 1-2 = z3 и L₂: x2 = y - 11 = z + 2-1.
Укажи направляющие векторы и все промежуточные вычисления.
Задание 3. Прямые, заданные параметрически.Даны прямые в параметрической форме:
Прямая a:
| x = | y = | z = |
|---|---|---|
| 1 + 2t | 3 - t | -2 + 4t |
Прямая b:
| x = | y = | z = |
|---|---|---|
| -s | 2 + 3s | 1 - s |
Вычисли угол между прямыми a и b. Ответ вырази в градусах, округлив до целых.
Задание 4. Анализ взаимного расположения.Даны направляющие векторы двух прямых: s⃗₁ = (2, -1, 2) и s⃗₂ = (4, k, -2).
а) При каком значении параметра k прямые будут перпендикулярны?
б) Могут ли эти прямые быть параллельными? Ответ обоснуй.
Задание 5. Задача с контекстом.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра AB, AD и AA₁ лежат на осях координат Ox, Oy и Oz соответственно. Длины рёбер: AB = 4, AD = 3, AA₁ = 5.
а) Введи удобную систему координат и запиши координаты точек B₁ и D₁.
б) Составь уравнения прямых, содержащих диагонали B₁D и BD₁.
в) Найди угол между этими диагоналями.
Место для чертежа (при необходимости):